(x – 3)2(x + 7)(x – 4)9 est scindé mais n’est pas à racines simples. − Prenons par exemple une matrice 3 x 3 notée M. La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. Prenons un exemple : soit la matrice M de taille 3 x 3 suivante : Une étude préalable nous permettrait de montrer que les valeurs propres sont 1 ; 2 et -4 : on a donc bien 3 valeurs propres distinctes d’un espace de dimension 3, donc M est diagonalisable. λ est une valeur propre de M si et seulement si M – λ Id n’est pas inversible. x —, De manière évidente, chaque xi est une racine de P (si on remplace x par xi, un des facteurs sera nul et donc P(xi) sera nul). 2 ) D’où λ1X = λ2X, d’où λ1 = λ2, ce qui contredit le fait que λ1 et λ2 soient différentes. ( Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. ( u 2 est racine simple, on sait que son sous-espace propre est de dimension 1, on va donc se focaliser sur 4 qui est racine double (donc son sous-espace propre peut être de dimension 1 ou 2). Soit (en dimension quelconque) p un projecteur, c'est-à-dire un endomorphisme idempotent : p2 = p. Il est annulé par le polynôme X2 – X = (X – 1)X, qui est scindé et à racines simples. u 3 (X ≠ 0) − —, Pour l’exemple ci-dessus, on pourrait montrer facilement que det(A – λ Id) = (λ – 3)(λ + 1). Exemple : A est une matrice 4 x 4 et : A est triangulaire, ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 5, 8 et 7 : A possède 4 valeurs propres et est une matrice d’un espace de dimension 4, donc A est diagonalisable. , avec x La matrice, le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients complexes (qui sont toutes, dans l'ensemble des matrices carrées de taille fixée à coefficients réels trigonalisables sur ℝ (c'est-à-dire dont toutes les valeurs propres —. T.S.V.P → Densité des matrices diagonalisables dans ℳ, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, Palette incluant la multiplication des matrices, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Diagonalisation&oldid=172107839, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Il est aussi possible de déterminer directement les valeurs propres, et des bases des sous-espaces propres associés. Maintenant soit P la matrice ayant ces vecteurs propres comme colonnes : Alors « P diagonalise A », comme le montre un simple calcul : Remarquons que les valeurs propres λk apparaissent sur la diagonale de la matrice dans le même ordre que nous avons placé les colonnes propres pour former P. Soit − Sur la diagonalisation des matrices 2x2 vYes Coudène, 20/10/04 On sait que toute matrice A, à coe cients réels ou complexes, dont les a-v leurs propres sont toutes distinctes, est diagonalisable. I A 3 Il y a par exemple : On vérifie facilement que , avec et . Un polynômes est dit scindé sur le corps s’il peut s’écrire sous forme d’un produit de polynômes de degré 1 : - 5 - Remarques : • la matrice P (ou la nouvelle base de 3) permettant de trigonaliser A n’est pas unique, • dans les deux derniers exemples, si la matrice A admet pour valeur propre triple la valeur α, la matrice T semblable à A sera égale à celle proposée, mais en changeant ses coefficients 0 Valeurs propres d’une matrice sym etrique r eelle. ( L’ensemble des valeurs propres d’une matrice est appelé le spectre de la matrice. E X est un vecteur propre de M si X ≠ 0 et s’il existe un réel λ tel que MX = λX. Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 12 5.1. 0 Si. {\displaystyle I} Faire de mˆeme a l’aide de fonctions du module sympy. matrice P qui represente notre changement de variables.´ Enfin, pour terminer la diagonalisation, on calcule l’inverse de P (P est toujours inversible, il s’agit donc d’utiliser la formule vue a l’exercice 1. —. = { Avec la commande rbind(), on associe plusieurs vecteurs, chaque vecteur étant une ligne du tableau. Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. 0 Retiens bien tout ce vocabulaire car il ne faut pas tout mélanger ! 2 —. Puissance d’une matrice semblable. Ces sous-espaces propres étant des espaces vectoriels, ils ont une dimension, et on peut trouver une base constituée par définition d’autant de vecteurs que la dimension de cet espace. — On peut donc dire que le sous-espace propre contient l’ensemble des vecteurs propres ainsi que le vecteur nul. En résolvant les systèmes qui permettent de déterminer les sous-espaces propres (on sait d'avance qu'ils sont de dimension ) on trouve que : avec . —. Cependant, les polynômes ne sont pas tous scindés : s’ils ne sont pas scindés, ils s’écriront comme le produit d’un polynôme scindé et d’un ou plusieurs polynômes de degré 2. Nous verrons plus tard comment calculer les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres associés, mais voyons d’abord certaines propriétés liées à la diagonalisation. aux valeurs propres de la matrice Ap. M – λ Id correspond à la matrice M avec des – λ sur la diagonale. – les sous-espaces propres de 4 et 9 sont de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 2 qui n’est pas égal à 3 : la matrice M n’est pas diagonalisable. Lorsque c’est le cas, les diagonaliser. T Initialisation d'une matrice rectangulaire [modifier | modifier le wikicode] Les matrices sont créées à partir d'un vecteur : les valeurs sont prises une par une pour remplir le tableau, colonne par colonne. — Notations. Cet outil vous permettra de diagonaliser une matrice carrée tout en calculant la matrice de passage et son inverse. On consid`ere la matrice A = 3 −2 −1 2 −1 1 6 3 −2 . 2 1) On commence par calculer le polynôme caractéristique en le factorisant au maximum : les racines correspondent aux valeurs propres. Une matrice M ayant une unique valeur propre n’est diagonalisable que si elle est déjà diagonale avec cette unique valeur propre sur toute sa diagonale. T.S.V.P → Corrigé de l’exercice 1 : Si , par par Si . Démonstration: Soit un vecteur non nul de . Sinon cela ne marche pas… Nous avons regroupé ici tous les cas particuliers que tu peux rencontrer dans les exercices. avec . Comme précédemment, c’est une matrice diagonale avec sur sa diagonale les valeurs propres. On détermine le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 : . ( de diagonalisation d’une matrice carr ee Ma coe cients r eels qui sont dans le cours et qu’il faut conna^ tre. Nous reviendrons sur ces deux applications´ Or si la multiplicité est égale à la dimension du sous-espace, cela signifie que la somme des dimensions des sous-espaces est égale est égale au degré de P, qui est lui-même égal à la dimension de l’espace total : on retrouve le théorème vu précédemment : une matrice M de dimension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est n. Mais il arrive que certaines racines soient, doubles, triples, quadruples etc… —. U − 0 = Exo. Est-elle diagonalisable ? = i − Si une matrice M non diagonale a une unique valeur propre, alors elle n’est pas diagonalisable. Valeurs propres d’un endomorphisme 12 5.2. Un polynôme est dit scindé s’il peut se mettre sous la forme d’un produit de polynômes de degré 1. 3) Si la multiplicité de chaque racine correspond à la dimension du sous-espace propre, alors la matrice est diagonalisable et en regroupant les bases obtenues précédemment on forme la matrice P. On forme ensuite la matrice D comme vu ci-dessus. On peut écrire : où et . Parlons maintenant de ce que l’on appelle les éléments propres. La matrice de passage P dont nous avons parlé précédemment sera en fait constituée de vecteurs propres, et même mieux des vecteurs des bases des sous-espaces propres ! ⁡ Par exemple : D’où M(kX) = λ(kX) Si dim(E5) = 2 ET dim(E7) = 4, alors la matrice A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas. Ce procédé se ramène donc à une réduction maximale de l'endomorphisme, c'est-à-dire à une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de droites vectorielles stables par l'endomorphisme. 3 – le sous-espace propre de 4 est de dimension 1 et celui de 9 de dimension 2 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. On a donc MX = λ1X et MX = λ2X —. Pour ne pas t’embrouiller la tête nous ne ferons pas d’abréviation dans la suite du cours —. Une valeur propre ne peut pas exister sans vecteur propre et réciproquement. 3 Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Ainsi, après avoir calculé le polynôme caractéristique et trouvé les valeurs propres, il faut factoriser le polynôme afin de connaître la multiplicité de chacune d’elle. − ⁡ dim — 0 Mais quel est le rapport de tout cela avec la diagonalisation ?? Etant donnés un espace vectoriel , et un endomorphisme de , on sait qu'une matrice de dépend de la base de dans laquelle elle est exprimée. En effet, supposons que vecteur X soit associé à deux valeurs propres différentes λ1 et λ2. − Puissances d’une matrice diagonalisable 1.1. D'où la question: est il possible de trouver une base particulière de dans laquelle la … x —, Cela peut parfois servir dans les exercices…. Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C). i En fait, M est la représentation matricielle d’un endomorphisme dans une base E, et D la représentation de ce même endomorphisme dans une base F. P est donc la matrice de passage de E dans F (voir le chapitre sur les matrices de passage pour plus de précisions). Nous reprenons pas à pas les notions du chapitre « Valeurs propres, vecteurs propres », mais du point de vue plus théorique des applications linéaires. Ainsi, en trouvant les racines du polynôme caractéristique, on trouve les valeurs propres ! On a vu qu’il y en avait une infinité, mais il y a un point important à remarquer : si M a n valeurs propres distinctes, chaque sous-espace propre associé est de dimension 1 ! 11 4.3. Si on a par exemple det(A – λ Id) = (λ – 4)2(λ – 6)3(λ + 7) : Le raisonnement va être basé sur le théorème suivant : — —. − 1 S’il est scindé, on calcule les sous-espaces propres de chaque valeur propre, en terminant par celles dont la multiplicité est 1 (car elles ne posent pas problème) : on obtient des bases de chaque sous-espace. Diagonalisation d’une matrice par blocs. Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice. Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre n en utilisant un raisonnement par récurrence. x i avec . Si par exemple les valeurs propres de M sont 6 et 15, on a Sp(M) = {6 ; 15}. = { La diagonalisation de matrice consiste à l'écrire dans une base ou ses éléments hors de la diagonale sont nuls. ) Cela arrive quand le terme (λ – a) est à une certaine puissance, cette puissance est appelée la multiplicité de la racine, et est noté m(a). Par exemple sur l'espace ℒ(H) des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H sur K = ℝ ou ℂ, la symétrie qui à chaque opérateur associe son adjoint est toujours ℝ-linéaire, et diagonalisable en tant que telle : les opérateurs hermitiens et antihermitiens forment deux sous-espaces vectoriels réels supplémentaires (topologiques). ( − Prenons une valeur propre λ. Il y a au moins un vecteur propre associé par définition. Une diagonalisation possible est : On pr´ esente quelques … Pour diagonaliser une matrice : ( − Ainsi, si on a une matrice M quelconque (non diagonale) et qu’après calcul on trouve qu’elle n’a qu’une seule valeur propre, pas besoin de chercher les vecteurs propres, il suffit d’utiliser la propriété précédente pour dire qu’elle n’est pas diagonalisable. (en) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010 (ISBN 978-3-64205154-8). Comme dim(E4) = 2, une base de E4 sera composée de 2 vecteur libres. 1 2 Trouver les sous-espaces propres 4 est racine double (autrement dit 4 est racine de multiplicité 2 : m(4) = 2) avec polynôme caractéristique scindé et recherche de la matrice de passage P et de son inverse ⁡ Il est donc important de savoir si l’on travaille dans ou dans car on verra que pour une même matrice la conclusion n’est pas du tout la même selon le cas !! Cette propriété est équivalente à l'existence d'une base de vecteurs propres, ce qui permet de définir de manière analogue un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel. Diagonalisation Ladiagonalisationestuneopérationfondamentaledesmatrices. Par exemple, si on a un sous-espace de dimension 3, on peut trouver une base constituée de 3 vecteurs, si on a un sous-espace de dimension 5, il existe une base constituée de 5 vecteurs etc…. Si une matrice A est symétrique et réelle, alors elle est diagonalisable. I 0 Dans le même ordre que celui des vecteurs propres pour la matrice P ! 0 λ est une valeur propre de M s’il existe un vecteur X non nul tel que MX = λX. En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. A l’aide de fonctions du sous module` numpy.linalg, d´eterminer les valeurs propres et une matrice de vecteurs propres pour : A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . (Lorsque H est de dimension finie n sur K, une écriture matricielle montre que leurs dimensions sont égales respectivement à n(n + 1)/2 et n(n – 1)/2 si H est euclidien, et toutes deux égales à n2 si H est hermitien.). 3 X est associé à 1, Y à 2 et Z à – 4. A 0 ATTENTION à ne pas oublier le α !!! —. Il est annulé par le polynôme X2 – 1 = (X – 1)(X + 1) qui est scindé, et à racines simples dès que le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2. Temps de travail prévu : 55 minutes. d'endomorphismes d'un espace E est simultanément diagonalisable, c'est-à-dire s'il existe une base de E propre pour tous les ) C’est une condition su sante mais pas n ecessaire; en e et, la r eciproque (qui serait \si la matrice est diagonalisable alors elle En réalité, c’est plus la contraposée qui est intéressante ici : — ) Mais dans , x2 + 2x + 7 et x2 + 3x + 5 ont des racines complexes et sont donc factorisables : le polynôme est alors scindé dans ! 2 Afin de ne pas confondre, vecteur propre est noté VP (avec un V majuscule) car les vecteurs colonnes sont généralement notés avec une lettre majuscule comme X, tandis que valeur propre est noté vP (avec un v minuscule) car les scalaires sont généralement notés en minuscule comme λ. Vect On procède de même pour E–3 et l'on obtient : E 1 2 | Diagonalisation des matrices Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 Exercice 2 [Indication] [Correction] Diagonaliser la matrice A d´efinie par A = 0 −2 0 1 0 −1 0 2 0 dans R si possible, sinon dans C. Attention, si on a (λ – 7), la racine est 7, si on a (λ + 8), la racine est -8… Corrigé de l’exercice 2 : On calcule le polynôme caractéristique Si , par par Si . Diagonalisation des matrices et réduction des endomorphismes. A noter que pour une même matrice M, il peut bien sûr y avoir plusieurs vecteurs propres et plusieurs valeurs propres. Voyons maintenant comment calculer les valeurs propres et les vecteurs propres associés. k Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre. Cela reste vrai pour tous les polynômes de degré 2 dans , ils ont tous des racines (réelles ou complexes) et on peut les factoriser, ce qui permet d’avoir des polynômes scindés. 2 D’où le théorème suivant : — commutent deux à deux. Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique, Pour calculer les valeurs propres d’une matrice M, il faut calculer ce que l’on appelle le polynôme caractéristique de M. En regroupant un vecteur propre de chaque valeur propre, on obtient une base qui permet de former la matrice P. Si tel est le cas, on prend une base de ce sous-espace et les vecteurs de cette base constituent la matrice P. La matrice D n’est donc composée que de λ sur sa diagonale : (retiens bien cette démonstration, elle est facile et peut t’être demandée en exercice…). ) B ( 0 Les valeurs propres de M sont les racines de son polynôme caractéristique : = Remarque : on a vu précédemment que pour un polynôme scindé, la somme des multiplicité était égale au degré de P. Si en revanche on trouve qu’un sous-espace propre n’a pas la même dimension que la multiplicité de la racine, alors cela ne sert à rien de continuer car la matrice ne sera pas diagonalisable (enfin tu peux continuer évidemment mais tout dépend de la question de l’énoncé : si tu cherches juste à savoir si la matrice est diagonalisable ou non, cela ne sert à rien de continuer). Une fois les racines trouvées, on peut alors calculer les dimensions des sous-espaces propres et vérifier que la somme est égale à la dimension de l’espace (ou pas). – le sous-espace propre de 4 est de dimension 2 et celui de 9 de dimension 1 : la somme des dimensions est donc 3 : la matrice M est diagonalisable. 0 La matrice , en tant qu'élément de , est donc diagonalisable ; elle est semblable (dans ) à la matrice . Post by "Romain M." @ifrance.com> je connais une preuve différente, ca t'intéresse peut etre quand même. x X Voyons maintenant ce qui se passe si ce n’est pas le cas. Nous allons donc voir à quelles conditions une matrice est diagonalisable. -7 est racine simple (autrement dit -7 est racine de multiplicité 1 : m(-7) = 1), Il y a alors une définition importante à connaître : les polynômes scindés (nous allons voir maintenant quelques règles sur les polynômes puis nous ferons le lien avec la diagonalisation, donc ne t’étonnes pas si tu as l’impression que l’on s’éloigne un peu des matrices ). 1 ) 1 Pour que la matrice soit diagonalisable, il faut (et il suffit) que la dimension de chaque sous-espace propre soit égale à la multiplicité de la valeur propre : — 0 = 1 Ce polynôme, dont la variable est λ, est noté χM(λ) (χ est la lettre grecque chi), et est défini par. —. On peut interpréter simplement la trace d'une matrice à l'aide de ses valeurs propres. Si M est diagonalisable, que vaut alors la matrice D ?? 1 Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. . ) ), puis l’` on peut verifier l’ensemble de ses r´ ´esultats en On nous dit que les valeurs propres sont 4 et 9. Ce sous-espace propre étant un espace vectoriel, il y a une dimension : dim(Eλi). Quelques applications de la diagonalisation 1. MX = 4X (car λ = 4). Vect Une fois la dimension trouvée, il ne reste plus qu’à trouver une base, composée d’autant de vecteurs libres que la dimension. En effet, on a la propriété suivante : — Mais que vaut dans ce cas la matrice D ? 1 − Remarquons d'abord que si M est conjuguée à une matrice diagonale D par le biais d'une matrice U ∈GL n, U−1MU = D alors les coe cients diagonaux de D sont des aleursv propres de M et les vecteurs colonnes de U sont des vecteurs propres de M. Réciproquement, si U est une matrice inversible dont les colonnes sont des vecteurs propres de Exercice 01 : diagonalisation d’une matrice 1. Comme M est de taille 3 x 3, X est un vecteur colonne 3 x 1 : Ce qui se résume finalement à une seule équation : z = -x, soit x + z = 0 — 2 A noter : dans l’énoncé ci-dessus il est précisé sur car, comme on l’a vu précédemment, un polynôme peut être scindé sur mais pas sur . {\textstyle (A-2I_{3})X=0}, ( Exercice 10 Question 1 Étudier la diagonalisation de . est diagonalisable. Si nous voulons diagonaliser A, nous avons besoin de déterminer les vecteurs propres correspondants. Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. {\displaystyle (u_{i})_{i\in I}} 3 —, Le spectre d’une matrice M est noté Sp(M). d'endomorphismes diagonalisables de E qui commutent deux à deux est simultanément diagonalisable[2]. ) X 2 —. En revanche, un vecteur propre ne peut être associé qu’à une seule valeur propre. {\displaystyle \operatorname {dim} (E_{2})=2\,} On note O la matrice de passage de la base canonique a la base de diagonalisation. Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la diagonalisation de matrices ! Comme base il ne faut donc qu’un seul vecteur vérifiant e système, on prend par exemple : A partir de cela, on peut former la matrice diagonale D ainsi que la matrice de passage P à partir des bases trouvées, à savoir les vecteurs X, Y et Z : Comme les deux premiers vecteurs appartiennent à E4, les deux premiers coefficients de D seront 4, et comme le troisième vecteur appartient à E2, le 3ème coefficient de D sera 2 : Le schéma ci-dessous représente la correspondance entre les colonnes de P et les coefficients de D : On aurait très bien pu mettre Z en premier puis X et Y dans P, mais alors l’ordre des coefficients de D aurait changé : 0 Cela peut aussi se dire : si le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples, alors A est diagonalisable (la multiplicité de chaque racine est 1). 3 En effet, si on a une valeur propre λ associée au vecteur propre X, on a : Le vecteur propre et la valeur propre sont reliés par cette égalité. Soit M 2M n(K) une matrice carr ee a coef- cients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable a M s’il existe une matrice inversible Pd’ordre ntelle que M0= P 1MP: Proposition 1. Si une matrice A a autant de valeurs propres que la dimension de l’espace, alors A est diagonalisable. —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2.1. 2 Il n’y a donc pas d’intérêt à la diagonaliser puisqu’elle est déjà diagonale !!! avec α, x1, x2… éléments de , et n le degré de P. C'est la somme des modules des coordonnées de , … A noter qu’un vecteur propre est nécessairement NON NUL !!! Puissance d’une matrice semblable. − Dans les deux cas, on a la relation M = PDP -1, ce qui termine la diagonalisation de la matrice ! 0 Les vecteurs des bases de ces sous-espaces sont bien évidemment des vecteurs propres (puisqu’ils appartiennent au sous-espace propre). EN RÉSUMÉ : ) Calcul des valeurs propres : le polynôme caractéristique (qui est le coefficient dominant) 2 Mais avant cela, voyons un cas particulier. Il est donc diagonalisable, de valeurs propres 1 et 0. − 2. … 2) S’il n’est pas scindé, la matrice n’est pas diagonalisable. PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. 0 − 0 En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale. 2) V eri er que la matrice D= P 1APest une matrice diagonale. i On peut combiner les 2 cas particuliers ! Si une matrice M de dimension n possède n valeurs propres distinctes, alors elle est diagonalisable.