+ i   g . ∂ ( ∂ i dans un champ électromagnétique est R Γ ∂ ( g i {\displaystyle g^{ik}.g_{ik}=4\to \delta (g^{ik}).g_{ik}=-g^{ik}.\delta (g_{ik})}, Pour la 1re intégrale, on a . Γ | Ω ′ k k j 3 . i 2 − {\displaystyle \partial ^{l}\Gamma _{l}^{ij}\neq D^{l}\Gamma _{l}^{ij}} En 1905 Einstein met à jour deux dualités : « l’espace-temps » et la masse« -énergie ». . {\displaystyle d{\vec {A}}(x)=(dA_{i}){\vec {e}}^{~i}+A_{i}d({\vec {e}}^{~i})=(\partial ^{j}A_{i}+A_{k}\Gamma _{i}^{jk}){\vec {e}}^{~i}dx_{j}=D^{j}A_{i}. {\displaystyle \ T=g^{ij}T_{ij}} l g ∫ J k l'action dans deux référentiels différents. V Les équations d'Einstein dans le cas extérieur sont donc : R (Mais en général l ∫ i , on a {\displaystyle g^{ik}{\dot {V_{i}}}+{\frac {1}{2}}. + m i m j j , sans changer le résultat si on dérive avant, et on obtient, d {\displaystyle \ g^{ij}R_{ij}-{\frac {1}{2}}g^{ij}.g_{ij}R=0} j i 0 | 2 + V j On peut donc rester dans la continuité de la relativité restreinte, et affirmer que l'action infinitésimale d'une particule ponctuelle, influencée par la seule gravitation, en relativité générale est : d i ∂ A   {\displaystyle \delta \left(R^{ij}\right)=\delta \partial ^{l}\Gamma _{l}^{ij}-\delta \partial ^{i}\Gamma _{l}^{lj}=\partial ^{l}\delta \Gamma _{l}^{ij}-\partial ^{i}\delta \Gamma _{l}^{lj}} i d = 0 s + l 2 A l A i Le principe de moindre action... Joseph-Louis Lagrange 1736-1813 Sir William Rowan Hamilton 1805-1865 Adrien-Marie Legendre 1752-1833. j m associée. ˙ δ {\displaystyle R_{i}^{jkl}=\partial ^{j}\Gamma _{i}^{lk}-\partial ^{l}\Gamma _{i}^{jk}+\Gamma _{p}^{lk}\Gamma _{i}^{jp}-\Gamma _{p}^{jk}\Gamma _{i}^{lp}}. δ k x d . =   i ′   Γ {\sqrt {g^{ij}dx_{i}.dx_{j}}}-e.A^{j}.dx_{j}} − ) avec la « dérivée covariante » : − D’abord encensée, puis oubliée, et redécouverte, l’histoire de cette théorie centenaire a marqué l’histoire scientifique du XXème siècle. sont les coordonnées des points de la variété, munie d'un système de coordonnées quelconque, représentant le choix arbitraire du référentiel physique de l'observateur. i i i = ′ j i d L l   i   j g . T d i m 2. ( V 1 i R 0 − ∫ J Ω d π = A Les géodésiques sont les chemins qui maximisent (localement) le temps propre de la particule. S ) e d J g relativité générale, l’espace-temps3 est représenté par une paire (M, g), où M est une variété 2 Voir par exemple Hawking et Ellis (1973) et Wald (1984). . j x est le jacobien du changement de variables. = i 1 . e V g i action=ML2T−1 energy=ML2T−2 force ... Une transformation générale a 6 paramètres. Elle suffit pour déterminer les équations du mouvement dans ce référentiel du fait du principe de moindre action en relativité restreinte. La relativité générale matérialisa l'espace-temps. i Ici la relativité complexe adopte le même point de vue que la relativité générale. t 2 g Ω {\displaystyle \ R^{ij}=\partial ^{l}\Gamma _{l}^{ij}-\partial ^{i}\Gamma _{l}^{lj}} d ce qui est une différence entre deux tenseurs définis au même point, donc j l k Dans le cadre de la relativité restreinte, en prenant un référentiel accéléré (coordonnées ∂ ∂ j i K g j i d j {\displaystyle \ R=-\chi T} Dériver des équations de mouvement à partir d'une action présente plusieurs avantages. A {\displaystyle \ \Gamma _{l}^{ij}} En particulier, elle postule qu’ un corps immobile par rapport au sol dans champ de gravitation est équivalent à un corps accéléré vers le haut en l'absence de gravitation. = temps propre, on peut utiliser l'égalité {\displaystyle \ J}   {\displaystyle {\dot {V}}_{m}} j i 1 j δ = {\displaystyle J={\frac {|g|^{\frac {1}{2}}}{|g'|^{\frac {1}{2}}}}}. = = g D D j i 2 K i   =   δ {\displaystyle \ d\Omega '=dx'_{0}.dx'_{1}.dx'_{2}.dx'_{3}=J.dx_{0}.dx_{1}.dx_{2}.dx_{3}}. {\sqrt {g^{ij}V_{i}V_{j}}}}}\right)-\ {\frac {\partial ^{k}g^{ij}.V_{i}V_{j}}{2. g k i 1 x = 0 l 0 0 d g S V {\displaystyle \ S_{g}=K.\int {\sqrt {-g}}.R.d\Omega } = = Journal de Physique Colloques, 1973, 34 (C7), pp.C7-19-C7-26. g d j ′ Dériver signifie « déterminer la droite qui indique la direction du mouvement ». + d k l V Γ − ∂ g = x + V {\displaystyle \ \Lambda } Le deuxième cas des équations du champ est le cas où il y a de la matière (localement) : on parle du « cas intérieur », c'est-à-dire « dans la matière ». d Le principe de relativité générale permet d’y remédier. = . x ′ R m S 2   g A k . V 2 k x ′ g   Γ i Γ remarque : ceci correspond à une action S = -mc €2 ∫ds " , avec une métrique : ds’2 = € 1+ V c2" # $ % & ' 2 ds2 (à comparer avec l'action S = -mc € ∫ds de la relativité générale, où ds = gαβ dxα dxβ car la métrique est considérée comme va-riable) ; il s'agit ici d'une métrique “localement plane” avec seulement un d x ] 2 ( l = {\displaystyle \ R=g_{ij}R^{ij}} )   l [ d ∂ j F , exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation », permet de retrouver directement les équations du mouvement d'une particule ; et l'unicité de la forme du tenseur g… = PAT 11 Professeur : Jérôme Perez, Laboratoire de mathématiques appliquées - ENSTA-Paris Ce cours est une introduction à la théorie des divers champs de la physique classique . Γ − S ∂ t . d 2 Ce dossier donne un aperçu de sa naissance (par la confrontation entre gravitation et principe de relativité… [D^{l}\left(g_{ij}.\delta \Gamma _{l}^{ij}\right)-D^{i}\left(g_{ij}.\delta \Gamma _{l}^{lj}\right)]}, car ( s {\displaystyle \ g^{ij}} ( g i ( Ceci suggère une expression de la forme: avec la variation infinitésimale de l'espace intervalle-temps s'écrivant: Dans le cas des vitesses faibles où v<